在統計學中，常態分配區間估計是一種用於推論母體參數的基本方法，涉及一系列常用參數。以下將簡單介紹並比較這些參數的定義與公式：
- 母體平均數 (μ)
母體平均數指的是整個母體所有成員數值的算術平均。它是母體分布的中心位置，通常以希臘字母 μ 表示。
其中 Xi 為第 i 個母體值，N 為母體大小。
- 母體標準差 (σ)
母體標準差反映母體數值的離散程度，是母體所有數值與母體平均數差的平方和的平均值的平方根。通常用 σ 表示。
其中 Xi 為第 i 個母體值，N 為母體大小
- 樣本平均數 ( )
樣本平均數是從母體中抽取樣本後計算出的算術平均。記為 。公式為：
其中 為第 i 個樣本值，n 為抽樣樣本數大小。
- 樣本標準差 (S)
樣本標準差是樣本數值離散程度的指標，與母體標準差公式類似，但分母用 (n - 1) 作為無偏估計。
其中 為第 i 個樣本值，n 為抽樣樣本數大小。
- 樣本平均數標準差 (Standard Error, SE)
樣本平均數標準差，也稱為標準誤 (SE)，反映樣本平均數估計母體平均數時的不確定性，如果母體變異數σ已知則用 ，反之不知道母體變異數的情況下則使用 。 在多次進行抽樣的情況下，每次抽樣均會產生一個 ，則所有 加總後 的平均數與每一次抽樣的 之分散程度即可形成一個樣本平均數標準差
其中 s 為樣本標準差，n 為樣本數。
在進行樣本對母體統計量的區間估計時，在母體為常態分配且抽樣為大樣本(n>=30)的情況下，通常我們會先根據抽樣樣本得到樣本平均數的點估計值, 然後根據母體變異數是否已知的狀況下選擇適當的樣本標準差估計式來估算在特定信賴水準下的可能包含母體平均數的區間範圍, 如果母體變異數已知則用 作為樣本平均數標準差的估計值, 否則 母體變異數未知時 使用 作為估計值 . 而在信賴水準為 α(通常為0.1(90%)/ 0.05(95%) / 0.01(99%) 信賴區間) 時, 母體平均數 會有 90%/95%/99% 的機率落在 以下區間:
其中 根據 α 值 由小到大 分別為 1.645 /1.96 / 2.575
2025年9月3日星期三
