儒道哲學的浪漫人生

在統計實務中，當我們要估算某事件發生的機率，尤其是來自重複伯努利試驗（例如抽樣瑕疵品、顧客反應、品質檢測），常見的兩種方法是：

• 二項分配（Binomial Distribution）

• 樣本比例的常態近似分配（Normal Approximation to Sample Proportion）

這兩種方法在樣本數不大時可能產生顯著差異。本文以某公司品管抽驗瑕疵品的案例為例，說明兩者的計算方式、結果差異與適用情境。

📦 案例背景：瑕疵品抽驗決策

某公司每日抽驗 100 件產品，若抽樣中瑕疵品比例超過 8%，則當日所有產品需報廢。已知母體瑕疵率為 5%。我們欲估算：每日抽樣中瑕疵比例超過 6% 的機率是多少？

🧮 法一：二項分配法

• 設隨機變數 X 機率採用二項分配，參數為 n = 100、p = 0.05。我們旨在估算事件 P(X > 6) 的機率值。 使用常態近似並加上連續校正：
• 平均值 μ = np = 5
• 標準差
• 連續校正後：P(X > 6.5)
• Z 分數：Z = (6.5 – 5) / 2.179 ≈ 0.688
• 機率：P(Z > 0.688) ≈ 0.2458

📊 法二：樣本比例常態近似分配

定義樣本比例 ，近似服從常態分布：

• 平均值
• 標準誤
• 要估算
• Z 分數：
• 機率：

🔍 結果比較與差異分析

差異原因如下：

1. 離散 vs 連續：二項分配是離散的，樣本比例是連續近似，在小樣本時二者計算出來的機率值誤差較為明顯。
2. 連續校正影響：二項分配使用連續校正（如 X > 6.5），而樣本比例直接估算 ，忽略了離散性。
3. 樣本數不足：當 n 不夠大時，樣本比例的常態近似分配偏離真實分配。

📈 樣本數增加後的改善

若將抽樣數提高至 n = 200，則樣本比例估算結果為：

• 標準誤下降至 ≈ 0.0154
• Z 分數提升至 ≈ 0.649
• 機率下降至 ≈ 25.7%

此時常態近似分配與二項分配結果更接近，顯示樣本數增加能改善二種方法之間的估算差異。

✅ 結論與建議

• 在樣本數不大（如 n < 100）時，建議使用二項分配或加上連續校正的常態近似。
• 樣本比例常態近似適合快速估算，但需注意其誤差來源，尤其在品質管制、風險預警等高敏感度場景。
• 若需建立決策模型或儀表板，建議同時列出兩種估算結果，並標示誤差範圍。

2025年9月2日星期二